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浅葱色の計算用紙

数学(広義)を扱っています。

【物理?】電気力線の方程式を求める(1)【数学?】

定義

とは、物体に加速度を与えるベクトル量であり、力と加速度の関係は、力を\( \vec{F} \), 物体の質量を\( m \),加速度を\( \vec{a} \)とすると、\( \vec{F}=m\vec{a} \)となる。

仕事とは、物体に与えられたエネルギーを表すスカラー量であり、x=tの所でx軸方向の正の向きにf(t)の力を受けて物体がx=aからx=bまで動いた場合、その力が物体に与えた仕事は \( \int_{a}^{b}f(x)dx  \)となる。

電荷とは、スカラー量(負でもよい)を持つ点である。

電気量とは、電荷が持っているスカラー量であり、記号はqやQを使う。

静電気力とは、電荷同士が受ける力であり、その大きさはkを比例定数、rを電荷間の距離、q,Qを2つの電荷の電気量とすると\( \frac {kqQ} {r^2}  \)であり、qQ>0のとき斥力、qQ<0のとき引力となる。

電位とは、スカラー場であり、電位がVだけ高い所に電気量がQの電荷を移動させるにはQVの仕事を要する。通常、無限遠点での電位を0とする。

等電位面とは、電位が等しい点を結んでできる図形であり、それが曲線の時は等電位線ともいう。

電気力線とは、正の電気量が静電気力に従って動く軌跡である。最初の電荷の位置によって同じ電荷の配置であっても異なる電気力線が描かれる。

 

定理

固定された電荷が1個だけある空間において、その電荷の電気量をQとすると、電荷からの距離がrの点での電位は\(  {kQ} \over r  \)である。

固定された電荷が原点にあるとする。

原点からの距離がxの点で、電気量が+1の電荷は\( \frac {kQ} {r^2}  \)の力を受けるので、この電荷が「原点からの距離がrの点」から「無限遠」まで行くときに静電気力がした仕事は、

\( \int_{r}^{\infty} \frac {kQ} {x^2}  dx = \left[ -{kq}\over{x} \right]^{\infty}_{r} = \frac{kq}{r} \)

よって電位はkQ/r÷1=kQ/rとなる。

 

等電位面と電気力線は、必ず直交する。

そうでなければ、等電位面にそって電荷を動かしたとき、仕事が発生する。