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浅葱色の計算用紙

数学(広義)を扱っています。

最大素数大富豪合成数問題

最大素数大富豪素数99998888777766665555444433332222131313131313121212121111111011010101111であることが知られている。

ここでは、素数大富豪で出せる最大の合成数を求めることにする。

 

相手は考えない(54枚すべて使える)ものとし、ジョーカーは2ケタの数として使うものとする。すなわち、合成数は36桁となる。

 

上限

9で始まる36ケタの合成数が3個以上の素因数を持つとすると、(9は4枚しかないので)3個の素因数の上位桁は次のようである可能性がある(これ以外の場合、素因数の積はさらに小さくなる):

 

①9998..., 8..., 8...

②998..., 98..., 8...

③98..., 98..., 98...

 

①について、上位桁は10000×9×9=81000より小さいはずなので、9で始まることはなく不適

②について、上位桁は1000×100×9=90000より小さいはずなので、9で始まることはなく不適

③について、上位桁は99×99×99=970299より小さい。

よって、97以上で始まる36ケタの素数大富豪合成数が3個以上の素因数を持つことはありえないので、以下では素因数が2個の場合を考察する。

 

99で始まるもの

合成数の方で9をすでに2枚使っているので、素因数は次のようになる:

①998..., 8...

②98..., 98...

①について、上位桁は999×9=8991より小さいはずなので、99で始まることはなく不適

②について、上位桁は99×99=9801より小さいはずなので、99で始まることはなく不適

98で始まるもの

①9998..., 8... →9999×9=89991より不適

②998..., 98... →999×99=98901より適する

②(a) 98..., 98... →99×99=9801より適する

②(b) 98..., 8... →99×9=891より不適

よって2個の素因数はそれぞれ9[89]と98で始まる。

988で始まるもの

98...×98...は値が小さすぎるので2個の素因数は998と98で始まる

この段階で9と8を4枚ずつ使ってしまったので7の入り方について考えると

(7を使った後の数字の最大値は6であることに注意)

①99877776..., 986... →99877777×987=98579365899より不適

②9987776..., 9876... →9987777×9877=98649273429より不適

③998776..., 98776... →998777×98777=98656195729より不適

④99876..., 987776... →99877×987777=98656203429より不適

⑤9986..., 9877776... →9987×9877777=98649358899より不適

以上より、988で始まるものは存在しない。

987で始まるもの

7をすでに1枚使っているので、残りの7は3枚

998,98の後に8が来ないとすると

①9987776..., 986... →9987777×987=9857935899より不適

②998776..., 9876... →998777×9877=9864920429より不適

③99876..., 98776... →99877×98777=9865550429より不適

④9986..., 987776... →9987×987777=9864928899より不適

また、

①99887..., 987... →99888×988=98689344より不適

②9987..., 9887... →9988×9888=98761344より適する

このことから、2つの素因数の上4ケタは9987と9887であり、9877で始まるものは存在しない。

9876で始まるもの

9987...×9887...=9876...において7は残り1枚、6は残り3枚

①998776..., 98876...→998777×98877=98765073429より適する

②99876..., 988776...→99877×988777=98756080429より不適

 

 

 

下限

29# = 6469693230は素数大富豪合成数である。

(これより大きい素数大富豪合成数を発見したらコメントして下さい)